Мячик, брошенный с балкона в вертикальном направлении, через t = 3,0 с упал на Землю... Решение задачи

Задача. Мячик, брошенный с балкона в вертикальном направлении, через $t=3,0$ с упал на Землю. Определить начальную скорость мячика, если высота балкона над Землей равна 14,1 м. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение. В условии не указано направление, в котором брошен мяч, — вертикально вниз или вверх. Однако эта неопределенность не является существенной для решения задачи. В любом случае движение мяча будет равнопеременным с ускорением $a=g$, а высота балкона над Землей, данная в условии, полностью определяет вектор перемещения $\Delta r$ мяча (рис. 1). Поэтому для решения задачи достаточно воспользоваться формулой

$$\displaystyle y=v_{0}t+\frac{at^{2}}{2},\; \; \; \; \; \; \; \; (1)$$

выражающей модуль этого перемещения.

Рис. 1

Предположим, что мяч брошен со скоростью v0 вертикально вверх. Направим ось проекций у вертикально вниз. Соблюдая правило знаков, получим по (1)

$$\displaystyle y=-v_{0}t+\frac{gt^{2}}{2}.$$

Решив уравнение относительно $v_{0}$, найдем

$\displaystyle v_{0}=\frac{gt^{2}-2y}{2t}=\frac{9,8\cdot 9,0-2\cdot 14,1}{2\cdot 3,0}\tfrac{M}{C}=10$ м/с.

Положительный знак величины $v_{0}$ показывает, что начальная скорость мяча направлена именно так, как мы предположили, т. е. вертикально вверх.

Замечания: 1. Легко убедиться в том, что выбор положительного направления оси отсчета произволен. Так, направив ось $y$ вверх, получим уравнение

$$\displaystyle -y=v_{0}t-\frac{gt^{2}}{2},$$

которое, очевидно, равносильно предыдущему.

2. Если предположить, что начальная скорость $v_{0}$ направлена вертикально вниз, т, е. по оси $y$, то будем иметь

$$\displaystyle y=v_{0}t+\frac{gt^{2}}{2}.$$

Решив это уравнение, найдем $v_{0}=-10$ м/с. Отрицательный знак показывает, что на самом деле начальная скорость мяча направлена не так, как мы предположили, а вертикально вверх, т. е. пришли к прежнему результату.