При движении автомобиля его колесо катится по окружности в горизонтальной плоскости... Решение задачи

Мячик, брошенный с балкона в вертикальном направлении, через t = 3,0 с упал на Землю... Решение задачи

Задача. При движении автомобиля его колесо радиуса r=0,75 м катится по окружности радиуса R=6,00 м в горизонтальной плоскости. При этом центр колеса движется с постоянной скоростью v=1,50 м/с. Определить: 1) угловую скорость и угловое ускорение колеса; 2) угол, образуемый вектором \vec{\omega} с вертикалью.
Решение. Качение колеса по окружности представим как сумму двух вращательных движений:


1) с угловой скоростью \vec{\omega_{1}} вокруг горизонтальной оси AB (рис. 1) и
При движении автомобиля его колесо катится по окружности в горизонтальной плоскости... Решение задачи
Рис.1

2) с угловой скоростью \vec{\omega_{2}} вместе с осью AB вокруг вертикальной оси OO'. Направление векторов \vec{\omega_{1}},\vec{\omega_{2}} на рисунке соответствует правилу правого винта. Результирующий вектор угловой скорости по модулю равен

\displaystyle \vec{\omega}=\sqrt{\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}}\; \; \; \; \; \; \; \; \; (1)

Величины \omega_{1},\omega_{2} найдем по второй из формул (*).

\displaystyle s=\varphi R,\: v=\omega R,\: a_{\tau}=\varepsilon R,\: a_{n}=\omega ^{2}R\; \; \; \; (*)

Предварительно определим линейную скорость наружных точек колеса в его вращении вокруг оси AB. Для этого все движения рассмотрим в системе отсчета, связанной с автомобилем. Тогда колесо будет вращаться вокруг неподвижной оси AB, а точки дороги, соприкасающиеся с колесом, будут в силу относительности движения иметь скорость \displaystyle \vec{v'} =-\vec{v}. Так как между колесом и дорогой нет скольжения, то его наружные точки также будут иметь скорость \vec{v'}, равную по модулю \vec{v}. Таким образом, из (1) и (*) получим

\displaystyle \omega=\sqrt{\left ( \frac{v}{r} \right )^{2}+\left ( \frac{v}{R} \right )^{2}}=\frac{v}{r}\sqrt{1+\frac{r^{2}}{R^{2}}}.

Как видно из чертежа, вектор \vec{\omega} образует с вертикалью угол

\displaystyle \alpha =\textrm{arctg}\, \frac{\omega_{1}}{\omega_{2}}=\textrm{arctg}\frac{R}{r}=83^{\circ}.

Чтобы найти угловое ускорение колеса, учтем, что оно согласно определяющей его формуле (**),

\displaystyle \varepsilon =\frac{d\vec{\omega}}{dt}=\frac{d^{2}\vec{\varphi}}{dt^{2}}.\; \; \; \; (**)


равно скорости изменения вектора \vec{\omega}. Хотя при качении колеса модуль вектора \vec{\omega} не изменяется, сам вектор изменяется: он поворачивается около оси OO'. Так как его начало (точка B на рис. 1) неподвижно, то скорость изменения \vec{\omega}, т. е. величина \varepsilon, равна скорости перемещения конца вектора \vec{\omega} — точки C. Точка C опишет окружность радиуса, численно равного \omega _{1}, за время, равное периоду T_{2} вращения колеса вокруг оси OO', Поэтому с учетом (***)

\displaystyle \omega=2\pi n= \frac{2\pi}{T}\; \; \; \; \; \; (***)


получим

\displaystyle \varepsilon =\frac{2\pi \omega _{1}}{T_{2}}=\omega _{2}\, \omega _{1}=\frac{v^{2}}{rR}=0,50 рад/с².

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

пять × пять =