Задача. Тележку массой = 20,0 кг, на которой лежит груз массой = 10,0 кг, тянут с силой , направленной горизонтально (рис. 1). Коэффициент трения между грузом и тележкой . Пренебрегая трением между тележкой и опорой, найти ускорения тележки и груза , а также силу трения между грузом и тележкой в двух случаях: 1) = 2,00 кгс, 2) = 6,00 кгс.
Решение. Рассмотрим силы, действующие на оба тела. При этом, поскольку их ускорения направлены по горизонтали, достаточно учитывать лишь силы, действующие горизонтально, так как остальные — направленные по вертикали — заведомо уравновешиваются.
На тележку действуют сила и сила со стороны груза . Последняя направлена против скорости тележки относительно груза при трении скольжения или против силы при трении покоя, т. е. в любом случае сила направлена влево (рис. 1). На груз действует сила трения со стороны тележки , направленная, согласно третьему закону Ньютона, вправо, причем по модулю . Направив ось проекций в сторону ускорения, т. е. по горизонтали вправо, запишем в скалярном виде уравнения движения тележки и груза:
Уравнения (1), (2) содержат три неизвестных. Чтобы получить еще одно уравнение, выясним характер силы трения между тележкой и грузом. Если тележка выскальзывает из-под груза, то между ними действует сила трения скольжения, подчиняющаяся закону
Так как в данном случае сила равна по модулю силе тяжести груза, то
Если же тележка и груз двигаются как одно целое, то между ними действует сила трения покоя . Однако в этом случае выполняется равенство
Таким образом, в обоих возможных случаях получим систему трех уравнений.
Итак, необходимо выяснить характер сил трения, действующих между телами.
а) тележка выскальзывает из-под груза. Между ними действует сила трения скольжения, которую найдем по формуле (За):
б) тележка и груз движутся как одно целое, удерживаемые трением покоя. Тогда, обозначив , запишем систему уравнений (1), (2) в виде
Решив эту систему, получим
Формула (5) выражает пропорциональную зависимость между и . Однако значение имеет предел, равный силе , которая уже найдена. Поэтому в действительности два тела будут двигаться как одно целое лишь при таких значениях силы , при которых значение , определяемое по (5), не будет превышать ее предельного значения. Проделав расчеты, получим:
1) если = 2,00 кгс = 19,6 Н, то = 6,5 Н;
2) если = 6,00 кгс = 58,8 Н, то = 19 Н,
что невозможно, ибо предельное значение равно 9,8 Н. Значит, в этом случае между телами будет действовать трение скольжения.
Теперь легко ответить на все вопросы задачи:
1) = 19,6 Н. Между телами действует сила трения покоя = 6,5 Н. Из формулы (4) находим = 0,65 м/с²;
2) = 58,8 Н. Между телами действует сила трения скольжения =9,8 Н. Из (1) и (2) находим ускорения тел: = 2,5 м/с², = 0,98м/с².