Тележку массой М, на которой лежит груз массой m, тянут с силой F. Найти ускорения тележки и груза. Решение задачи

Мячик, брошенный с балкона в вертикальном направлении, через t = 3,0 с упал на Землю... Решение задачи

Задача. Тележку массой M = 20,0 кг, на которой лежит груз массой m = 10,0 кг, тянут с силой F, направленной горизонтально (рис. 1). Коэффициент трения между грузом и тележкой \mu =0,100. Пренебрегая трением между тележкой и опорой, найти ускорения тележки a_{1} и груза a_{2}, а также силу трения между грузом и тележкой в двух случаях: 1) F = 2,00 кгс, 2) F = 6,00 кгс.


Тележку массой М, на которой лежит груз массой m, тянут с силой F. Найти ускорения тележки и груза. Решение задачи
Рис.1

Решение. Рассмотрим силы, действующие на оба тела. При этом, поскольку их ускорения направлены по горизонтали, достаточно учитывать лишь силы, действующие горизонтально, так как остальные — направленные по вертикали — заведомо уравновешиваются.
На тележку действуют сила \textbf{F} и сила со стороны груза \textbf{F}_{TP1}. Последняя направлена против скорости тележки относительно груза при трении скольжения или против силы \textbf{F} при трении покоя, т. е. в любом случае сила \textbf{F}_{TP} направлена влево (рис. 1). На груз действует сила трения со стороны тележки \textbf{F}_{TP2}, направленная, согласно третьему закону Ньютона, вправо, причем по модулю F_{TP1}=F_{TP2}=F_{TP}. Направив ось проекций в сторону ускорения, т. е. по горизонтали вправо, запишем в скалярном виде уравнения движения тележки и груза:

F-F_{TP}=Ma_{1},\; \; \; \; \; \; \; (1)


F_{TP}=ma_{2}.\; \; \; \; \; \; \; (2)

Уравнения (1), (2) содержат три неизвестных. Чтобы получить еще одно уравнение, выясним характер силы трения между тележкой и грузом. Если тележка выскальзывает из-под груза, то между ними действует сила трения скольжения, подчиняющаяся закону

F_{TP}=\mu N.


Так как в данном случае сила N равна по модулю силе тяжести груза, то

F_{TP}=\mu mg.\; \; \; \; \; (3a)


Если же тележка и груз двигаются как одно целое, то между ними действует сила трения покоя F_{\Pi OK}\neq \mu mg. Однако в этом случае выполняется равенство

a_{1}=a_{2}.\; \; \; \; \; \; (3b)


Таким образом, в обоих возможных случаях получим систему трех уравнений.
Итак, необходимо выяснить характер сил трения, действующих между телами.
Рассмотрим подробнее оба возможных варианта:
а) тележка выскальзывает из-под груза. Между ними действует сила трения скольжения, которую найдем по формуле (За):

F_{TP}=0,100\cdot 10,0\cdot 9,8\, H=9,8\, H;


б) тележка и груз движутся как одно целое, удерживаемые трением покоя. Тогда, обозначив a_{1}=a_{2}=a, запишем систему уравнений (1), (2) в виде

F-F_{\Pi OK}=Ma,\; F_{\Pi OK}=ma.


Решив эту систему, получим

a=F/(M+m),\; \; \; \; \; \; (4)


F_{\Pi OK}=Fm/(M+m).\; \; \; \; \; \; (5)

Формула (5) выражает пропорциональную зависимость между F и F_{\Pi OK}. Однако значение F_{\Pi OK} имеет предел, равный силе F_{TP}, которая уже найдена. Поэтому в действительности два тела будут двигаться как одно целое лишь при таких значениях силы F, при которых значение F_{\Pi OK}, определяемое по (5), не будет превышать ее предельного значения. Проделав расчеты, получим:
1) если F = 2,00 кгс = 19,6 Н, то F_{\Pi OK} = 6,5 Н;
2) если F = 6,00 кгс = 58,8 Н, то F_{\Pi OK} = 19 Н,
что невозможно, ибо предельное значение F_{\Pi OK} равно 9,8 Н. Значит, в этом случае между телами будет действовать трение скольжения.
Теперь легко ответить на все вопросы задачи:
1) F = 19,6 Н. Между телами действует сила трения покоя F_{\Pi OK} = 6,5 Н. Из формулы (4) находим a = 0,65 м/с²;
2) F = 58,8 Н. Между телами действует сила трения скольжения F_{TP}=9,8 Н. Из (1) и (2) находим ускорения тел: a_{1} = 2,5 м/с², a_{2} = 0,98м/с².

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

четыре + 18 =