Точка движется, замедляясь, по прямой с ускорением, модуль которого зависит от ее скорости по закону... Решение задачи

Задача. Точка движется, замедляясь, по прямой с ускорением, модуль которого зависит от ее скорости $v$ по закону $a=\alpha \sqrt{v}$ , где $\alpha$ - положительная постоянная. В начальный момент скорость точки равна $v_{0}$ . Какой путь она пройдет до остановки? За какое время этот путь будет пройден?
Решение.
Так как точка движется замедляясь, то дифференциальное уравнение, определяющее зависимость скорости точки от времени, имеет вид

$\displaystyle \frac{dv}{dt}=-\alpha \sqrt{v}.$

Решение этого уравнения с разделяющимися переменными, с учетом начального условия $\displaystyle v=v_{0}$ при $t=0$ , дает

$\displaystyle v=\left ( \sqrt{v_{0}}-\frac{\alpha t}{2} \right )^{2}.$

Время $t_{0}$ до остановки точки определяется из условия $v=0$ , откуда

$\displaystyle t_{0}=\frac{2\sqrt{v_{0}}}{\alpha }.$

Найдем уравнение движения точки. Для этого направим ось $x$ вдоль прямой, по которой движется точка и составим дифференциальное уравнение ее движения

$\displaystyle v=\frac{dx}{dt}=\left ( \sqrt{v_{0}}-\frac{\alpha t}{2} \right )^{2}.$

Решение этого уравнения имеет вид

$\displaystyle x=\int_{0}^{t}\left ( \sqrt{v_{0}}-\frac{\alpha t}{2} \right )^{2}dt=\frac{2}{3\alpha }\left [ \sqrt{v_{0}^{3}}-\left ( \sqrt{v_{0}}-\frac{\alpha t}{2} \right )^{3} \right ],$

а координата точки остановки определится подстановкой в это выражение времени движения точки до остановки $t_{0}$ вместо текущего времени $t$ . Путь $s$ пройденный телом до остановки как раз равен этой координате, так как точка вплоть до остановки все время двигалась в одну и ту же сторону. В результате получим