Точка движется по кривой согласно уравнению. Найти среднюю скорость движения точки в промежутке времени. Решение задачи

Задача. Точка движется по кривой согласно уравнению $y=6t-\frac{t^{3}}{8}$ (длина — в метрах, время — в секундах). Найти среднюю скорость движения точки в промежутке времени от $t_{1}=2$ с до $t_{2}=6$ с.
Решение. Так как средняя скорость определяется формулой

$<v>=\frac{\Delta s}{\Delta t},\; \; \; \; \; \; \; \; (1)$

то задача сводится к вычислению пути $\Delta s$ , пройденного точкой за промежуток времени $\Delta t=t_{2}-t_{1}$ .
В условии задачи $y$ — криволинейная координата движущейся точки.

Если бы точка двигалась по кривой в течение всего промежутка времени

$\Delta t$ в одном направлении, то имело бы место очевидное равенство

$\Delta s=\left | \Delta y \right |$ , где

$\Delta y=y_{2}-y_{1}$ — приращение координаты

$y$ за

$\Delta t$ . В противном случае

$\Delta s>\left | \Delta y \right |$ . Действительно, если, например, координата

$y$ увеличивалась, то после изменения направления движения она начнет уменьшаться, в то время как путь, пройденный телом, продолжает расти. Тогда для нахождения пути

$\Delta s$ надо разбить промежуток времени

$\Delta t$ на такие

$n$ промежутков

$\Delta t_{1},\Delta t_{2},...,\Delta t_{n}$ , чтобы в течение каждого из них точка двигалась в одном направлении. Вычислив изменение координаты

$\Delta y_{i}$ , соответствующее каждому из этих промежутков

$\Delta t_{i}$ , определим путь

$\Delta s$ по формуле

$\Delta s=\sum_{i=1}^{i=n}\left | \Delta y_{i} \right |.\; \; \; \; (2)$

Исследуем данную функцию $y=y(t)$ . Учтем, что в моменты изменения направления движения точки по траектории скорость обращается в нуль. Поэтому, предположив, что такие моменты $t'_{i}$ существуют, найдем их из соотношения

$v=\frac{dy}{dt}=6-\frac{3t^{2}}{8}=0.$

Отсюда $t'_{1,2}=\pm 4$ с. Значит, в течение промежутка $t_{2}-t_{1}$ — действительно имеется один момент времени $t'=4$ с, когда направление движения точки изменяется. Обозначив ее координаты в моменты $t_{1},t',t_{2}$ соответственно через $y_{1},y',y_{2}$ , получим по формуле (2)

$\Delta s=\left | y'-y_{1} \right |+\left | y_{2}-y' \right |.\; \; \; (3)$

Из заданного уравнения $y=y(t)$ находим: $y_{1}=11$ м, $y'=16$ м, $y_{2}=9$ м. Теперь по формулам (3) и (1) получим ответ:
$\Delta s=(\left | 16-11 \right |+\left | 9-16 \right |)$ м=12 м; $<v>=\frac{12}{4}=3$ м/с.