Задача. Радиус-вектор частицы меняется со временем по закону , где - постоянный вектор, - положительная постоянная.
Найти:
а) скорость и ускорение частицы в зависимости от времени;
б) промежуток времени , по истечении которого частица вернется в исходную точку, а также путь, который она пройдет при этом.
Решение
Дифференцируя радиус-вектор частицы по времени, получаем скорость частицы в виде
дифференцируя, затем, полученное выражение для скорости частицы еще раз по времени, приходим к выражению для ускорения
Из этих выражений видно, что вектор ускорения частицы постоянен и направлен навстречу ее скорости и, следовательно, частица движется равнозамедленно. В некоторый момент времени частица достигнет точки поворота, в которой ее скорость обратится в ноль. Условие определяет время движения частицы до точки поворота
а радиус-вектор точки поворота найдем подстановкой времени в исходное выражение, определяющее зависимость радиуса-вектора частицы от времени
Так как частица движется по прямой линии (вектор ), то ее путь до поворота и обратно равен удвоенной длине радиуса-вектора точки поворота. Следовательно, искомый путь равен
Промежуток времени , по истечении которого частица вернется в исходную точку определяется из уравнения
которое имеет два корня и . Первый корень соответствует моменту старта точки, а второй корень моменту ее возврата в точку старта. Поэтому искомый промежуток времени равен
Ответ: a) ; . б) ;