Радиус-вектор частицы меняется со временем t по закону r = bt(1-at)... Решение задачи

Два тела бросили одновременно из одной точки... Решение задачи

Задача. Радиус-вектор частицы меняется со временем t по закону \vec{r}=\vec{b}t(1-\alpha t), где \vec{b} - постоянный вектор, \alpha - положительная постоянная.
Найти:
а) скорость \vec{v} и ускорение \vec{a} частицы в зависимости от времени;
б) промежуток времени \Delta t, по истечении которого частица вернется в исходную точку, а также путь, который она пройдет при этом.
Решение


Дифференцируя радиус-вектор частицы \vec{r} по времени, получаем скорость частицы \vec{v} в виде

\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}=\vec{b}(1-2\alpha t)


дифференцируя, затем, полученное выражение для скорости частицы \vec{v} еще раз по времени, приходим к выражению для ускорения

\vec{a}=-2\alpha \vec{b}.


Из этих выражений видно, что вектор ускорения частицы \vec{a} постоянен и направлен навстречу ее скорости \vec{v} и, следовательно, частица движется равнозамедленно. В некоторый момент времени t_{0} частица достигнет точки поворота, в которой ее скорость \vec{v} обратится в ноль. Условие \vec{v}=0 определяет время движения частицы до точки поворота

t=\frac{1}{2\alpha },


а радиус-вектор точки поворота \vec{r}_{0} найдем подстановкой времени t_{0} в исходное выражение, определяющее зависимость радиуса-вектора частицы от времени

\vec{r}_{0}=\vec{b}t_{0}(1-\alpha t_{0})=\frac{\vec{b}}{4\alpha }.


Так как частица движется по прямой линии (вектор \vec{b}=const), то ее путь до поворота и обратно равен удвоенной длине радиуса-вектора \vec{r}_{0} точки поворота. Следовательно, искомый путь равен

s=2\left | \vec{r}_{0} \right |=\frac{\left | \vec{b} \right |}{2\alpha }.


Промежуток времени \Delta t, по истечении которого частица вернется в исходную точку определяется из уравнения

\vec{r}=\vec{b}t(1-\alpha t)=0,


которое имеет два корня t=0 и \displaystyle t=\frac{1}{\alpha }. Первый корень соответствует моменту старта точки, а второй корень моменту ее возврата в точку старта. Поэтому искомый промежуток времени \Delta t равен

\Delta t=\frac{1}{\alpha }.


Ответ: a) \vec{v}=\vec{b}(1-2\alpha t); \vec{a}=-2\alpha \vec{b}. б) \displaystyle \Delta t=\frac{1}{\alpha }; \displaystyle s=\frac{\left | \vec{b} \right |}{2\alpha }.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

семь − 5 =