Из двух пунктов А и B, расстояние между которыми l, одновременно начинают двигаться два корабля со скоростями... Решение задачи

Два тела бросили одновременно из одной точки... Решение задачи

Задача. Из двух пунктов A и B, расстояние между которыми l, одновременно начинают двигаться два корабля со скоростями v_{1} и v_{2}. Векторы скоростей образуют с отрезком AB одинаковые углы \alpha =45^{\circ} (рис. 1). Считая движение кораблей равномерным и прямолинейным, определить наименьшее расстояние между ними.


Из двух пунктов А и B, расстояние между которыми l, одновременно начинают двигаться два корабля со скоростями... Решение задачи

Рис. 1

Решение. Приведем два способа решения задачи, отличающиеся выбором системы отсчета.
1. Пусть движение кораблей происходит в той системе отсчета (связанной с Землей), в которой заданы их скорости. Сначала расстояние между кораблями будет уменьшаться, затем (если они не столкнутся) — увеличиваться. Чтобы найти наименьшее расстояние s_{min}, применим общий метод исследования функции на экстремум. Для этого рассмотрим положение кораблей спустя произвольный промежуток времени t после начала движения и найдем расстояние между ними как функцию времени. Из чертежа следует:

s=\sqrt{(OM)^{2}+(ON)^{2}}=\sqrt{(OA-v_{1}t)^{2}+(OB-v_{2}t)^{2}}.


Обозначив a=OA=OB, получим

\displaystyle s=\sqrt{2a^{2}-2a(v_{1}+v_{2})t+(v^{2}_{1}+v^{2}_{2})t^{2}}.\; \; \; \; \; \; (1)


Чтобы найти минимум функции s=s(t), продифференцируем ее по времени и приравняем нулю производную:

\displaystyle \frac{ds}{dt}=\frac{-2a(v_{1}+v_{2})+2t(v^{2}_{1}+v^{2}_{2})}{2\sqrt{2a^{2}-2a(v_{1}+v_{2})t+(v^{2}_{1}+v^{2}_{2})t^{2}}}=0.


Отсюда время, соответствующее наименьшему расстоянию s_{min}, равно

\displaystyle t_{min}=\frac{a(v_{1}+v_{2})}{v^{2}_{1}+v^{2}_{2}}.


Подставив это значение времени в (1), получим ответ:

\displaystyle s_{min}=\frac{a\left |v_{2}-v_{1} \right |}{\sqrt{v^{2}_{1}+v^{2}_{2}}}=\frac{l\left |v_{2}-v_{1} \right |}{\sqrt{2(v^{2}_{1}+v^{2}_{2})}}.\; \; \; \; \; \; \; \; \; (2)


Из формулы (2) следует: 1) если v_{1}=v_{2}, то s_{min}=0, т. е., двигаясь с одинаковыми скоростями, корабли встретятся в точке O (рис. 1); 2) если v_{1}=0 или v_{2}=0 (движется только один корабль), то s_{min}=a, т. е. s=s_{min}, когда корабль окажется в точке O.
Из двух пунктов А и B, расстояние между которыми l, одновременно начинают двигаться два корабля со скоростями... Решение задачи

Рис. 2

2. Воспользуемся системой отсчета, связанной с одним из двух кораблей, например с первым. В этой системе отсчета первый корабль будет неподвижен, а движение второго корабля будет сложным: со скоростью v_{2} относительно Земли и со скоростью v'_{1}=-v_{1}, вместе с Землей относительно первого корабля (рис. 2). Скорость результирующего движения выразится вектором v, причем

\displaystyle v=\sqrt{{v}'^{2}_{1}+v^{2}_{2}}=\sqrt{v^{2}_{1}+v^{2}_{2}}.


Минимальным расстоянием между кораблями будет длина перпендикуляра AC, опущенного на направление вектора v. Расчет, основанный на подобии прямоугольных треугольников, приводит к ответу

\displaystyle s_{min}=AC=\frac{l(v_{2}-v_{1})}{\sqrt{2(v^{2}_{1}+v^{2}_{2})}},\; \; \; \; \; \; \; \; (3)


что совпадает с ответом (2), так как в (3) \displaystyle v_{2}>v_{1}.
Как видим, второй способ решения, в котором система отсчета привязывается к одному из движущихся тел, значительно проще первого.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

3 × 1 =